이제야 미분과 적분이 대략 어떤 놈인지 이해를 하고 시험장에 들어갔건만. ㅈㄴ 황당한 문제가 나왔다.
인테그럴 루트 a의 제곱 마이너스 x의 제곱 루트닫고 dx를 한 식-_-
∫√a²-x² dx
에라 제길 어차피 제곱 마이너스 제곱인데 아무생각도 안나고 그 흔한 (a-x)(a+x)=a²-x² 나온다는 인수분해 5번공식도 기억이 안났다
멍청하게 (a²-x²)½(제곱)과 똑같다고 생각해 양변 분배법칙을 하면
a-x가 나와서
이녀석을 다시 적분하면
½a²-½x²가 되므로 결국은 답이 이거다
라고 쓰고 나왔건만.........
그 유명한 칼큘러스 464p를 보니 이녀석이 피적분 함수네?
ㅆㅂ 이 세 식을 유리화해서 삼각함수로 바꿔서 집어넣으라고 나왔잖아!!
무슨말인지 모르겠다. 암튼 이렇댄다 ㅠㅜㅠ
제곱근 1번 식에 당당히 내가 풀려는 √a²-x² 이녀석이 나와있어고-_- 변수를 바꿔서 x=a sin t로 치환하여 t의범위가 -∏/2≤t≤∏/2라고 나와있었다. 엥?
젠장-_-;;; 젠장!!
유리수로 치환하는 것까지 완벽하게 이해하고 풀 수 있는 수준에 도달했건만 재강하는 02학번 선배에게 물어보니 그딴게 왜 나오냐......는 식으로 말했다 ㄱ-........-_-
결국 시험 바로 직전에 내가 예상했던 로피탈의 정리, 선배가 예상했던 부피(체적)구하는 것, cos을 포함한 적분 또하나는 뭔지 까먹었지만 아무튼 이딴게 나왔다.-_-
.......
풀이방식을 보면
x=a sin t, -∏/2≤t≤∏/2
이런 식으로 변수를 바꾼 다음에
dx=a cos t 그리고 √a²-x² = a cos t 그러므로
(.. 그러니까 dx를 치환해주는 거였군...........ㅆㅂ)
∫√a²-x² dx=∫ a cos t·a cos t dt = a² ∫ cos²t dt
∫√a²-x² dx=a²/2∫(1+cos 2t)dt
∫√a²-x² dx=a²/2∫(t+½sin 2t) + C
∫c√a²-x² dx=a²/2(t²+sin t cos t) + C
방정식 x=a sint는 x/a = sin t 와 동등하며, 사인 함수가 역함수를 가지도록 t의 범위를 제한하였으므로
t=sin-¹(x/a)
빗변이 a이고 한변이 x인 직각삼각형을 생각해보면 다른 한변은 √a²-x²이므로
cos t = cos[sin-¹(x/a)] = √1-x²/a² = 1/a√a²-x²
그러므로
∫√a²-x² dx = a²/2 sin-¹(x/a)+x/2√a²-x² + C
이걸 반원의 넓이와도 같다고 하는데 음.....=-_
아놔 몰라-_-;;;;;;;;;;;
아무튼. 이렇게 한번 풀이과정을 써보고 싶었다.
제길. 망할 피적분 함수.......ㅠ_ㅠ
선배님 진작좀 알려주시죠......
<- 같은 과가 아니니 어찌 알려 주겠니.......OTL
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